Download PDF by Giulio Cesare Barozzi: Aritmetica: un approccio computazionale

By Giulio Cesare Barozzi

ISBN-10: 8847005817

ISBN-13: 9788847005815

ISBN-10: 8847005825

ISBN-13: 9788847005822

"La matematica è los angeles regina delle scienze e l'aritmetica è los angeles regina delle matematiche"; così scrisse Carl Friedrich Gauss, L'insegnamento della matematica, tanto a livello universitario quanto a livello di scuola secondaria, sembra aver dimenticato l''autorevole precetto del princeps mathematicorum. Solo in anni recenti si potuto riscontrare un'inversione di tendenza. los angeles scoperta, avvenuta nel 1977 da parte di tre ricercatori del M.I.T., che un risultato risalente a Fermat e generalizzato da Eulero poteva essere utilizzato in step with l. a. costruzione di codici crittografici difficilmente decifrabili, ha destato un uniqueness ritorno di interesse according to l'aritmetica da parte di ambienti industriali, bancari e militari.

Problemi antichi, come l. a. scomposizione degli interi in fattori primi, hanno ricevuto in anni recentissimi un rinnovato interesse.

Questo volumetto, scritto in una prospettiva didattica, vuole essere un contributo alla rilettura in chiave algoritmica di alcuni classici argomenti della teoria elementare dei numeri e un invito a letture più impegnative, secondo le indicazioni fornite dalla bibliografia annessa advert esso.

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Suggerimento. Si osservi che le istruzioni contenute al passo 2 mantengono la positivit` a delle variabili X e Y e l’invarianza dell’espressione X · V + Y · U ; poich´e tale espressione vale 2nm, una volta effettuata l’inizializzazione di tutte le variabili in gioco, . . ) 2 Aritmetica modulare Nel capitolo precedente abbiamo visto come eseguire la divisione del numero intero n per il numero intero m > 0; si ha la decomposizione n = qm + r, 0 ≤ r < m, dove gli interi q e r sono univocamente determinati (cfr.

Riassumendo: se (x0 , y0 ) `e una soluzione particolare dell’equazione ax + by = c, dove si suppone soddisfatta la condizione c|d, d essendo il massimo comune divisore di a e b, allora tutte e sole le soluzioni (x, y) ∈ Z × Z dell’equazione considerata sono date dalle formule (15), dove s’intende che sia a = a d, b = b d. 1 Per ogni n ∈ Z, m ∈ N∗ dimostrare l’unicit` n = qm + r, 0 ≤ r < m. (Suggerimento. Sia n = qm + r = q m + r ; si ha allora (q − q )m = r − r , da cui, prendendo i valori assoluti di entrambi i membri .

Si applichi a primo membro la formula del binomio e si verifichi che, per ogni k con 1 ≤ k ≤ p − 1, p divide il coefficiente binomiale di indice superiore p e indice inferiore k: 1 ≤ k ≤ p − 1 =⇒ p kp . 6 Si utilizzi il precedente esercizio per dimostrare il teorema di Fermat (cfr. 3) per n ∈ N, procedendo per induzione rispetto ad n. 1, si dimostri che, se per un fissato m e per un certo j, si ha rj = 0, allora rk = 0 per ogni k > j. 1, nonch´e il risultato del precedente esercizio, si dimostri che n `e divisibile per 5 se e solo se tale `e l’ultima cifra della sua rappresentazione decimale, cio`e se e solo se tale cifra `e 0 oppure 5.

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by Mark
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